Μέθοδος Διόφαντου για τέλεια τετράγωνα

Αν θεωρήσουμε την παράσταση $ax^2 + bx +c$ και θέλουμε να βρούμε ρητούς αριθμούς $x$, ώστε να μετατραπεί η παράσταση σε τέλειο τετράγωνο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και την παρακάτω μέθοδο του Διόφαντου. Λύνουμε ως προς $x$ την εξίσωση: \[ ax^2 + bx + c = (ax+ r)^2 \] ή την \[a^2 x^2 + bx + c = (rx + c)^2 \] Σε κάθε περίπτωση το $x$ θα είναι ρητή έκφραση του $r$. Παράδειγμα: $4x^2 - 8x + 25 = z^2$ Υπάρχει $r \in \mathbb{Q}$ ώστε \[4x^2 - 8x + 25 = (2x + r)^2 \Leftrightarrow \] \[4x^2 - 8x + 25 = 4x^2 + 4xr + r^2 \Leftrightarrow \] \[x = \frac{25 - r^2}{4r + 8} \Rightarrow\] \[ z = 2x + r = \frac{r^2 + 4r + 25}{2r+ 4}\]