0! = ;

Γιατί το $0!$ δηλώνουμε ότι είναι ίσο με $1$;

Ο λόγος είναι απλός. Εκτός ότι σε όλες τις περιπτώσεις που έχουμε να ορίσουμε «περιέργες» καταστάσεις φροντίζουμε να πληρούνται οι γενικές ιδιότητες που έχουμε σε κάθε περίπτωση, όπως για παράδειγμα στο $a^0 = 1, a\neq 0 $. Συχνά υπάρχουν και εξηγήσεις που αφορούν στο τι αντανακλά το οριζόμενο.

Έτσι εφόσον γενικά το $n!$ μετρά τις μεταθέσεις των $n$ στοιχείων, είναι λογικό το ίδιο να συμβαίνει και για το $0!$. Δηλαδή, θέλουμε να υπολογίσουμε το πλήθος των μεταθέσεων $0$ στοιχείων. Προφανώς $0$ στοιχεία μπορούν να το «τοποθετηθούν» με ακριβώς έναν τρόπο. Οπότε, φυσιολογικά $0! =1 $.

Αν θέλουμε να επιλέξουμε $k$ στοιχεία από $n$ στοιχεία, τότε αυτό γίνεται με $\left(\begin{matrix} n \\ k\end{matrix}\right)$ τρόπους. Οπότε, αν θέλουμε να επιλέξουμε κανένα ($0$) στοιχείο από $n$ στοιχεία, τότε αυτό θα γίνεται φυσιολογικά κατά $\left(\begin{matrix} n \\ 0\end{matrix}\right) = 1$ τρόπο.